Вообще-то слово "мечта" на первый взгляд простое и незатейливое. Единственное число - мечта, мечты, мечте, мечтой... и т. д. Множественное - мечты, мечтам, мечтами, о мечтах... Все есть, только родительного падежа почему-то не хватает.
И вот тут-то выясняется, что слово "мечта" не такое уж простое. Прежде всего его этимология, то есть происхождение, решительно неясна. Некоторые языковеды предполагают, что "центром значения" этого слова в древности было "нечто мигающее или мерцающее" - ведь из такого значения одинаково легко могло развиться как "призрак, видение, наваждение", так и "фантазия, неопределенная и неясная мысль". В общем, "мечта"...
Слово между тем старое. И самое главное - в старославянском языке была не только "мечта", но и та самая форма, которая сейчас не употребляется - "мечт"! Получается, она была когда-то, но со временем стала неупотребительной?
Возможно, так оно и есть. Что можно сказать наверняка, так это то, что в индивидуальном употреблении форма "мечт" отмечалась в самое разное время - и два века назад, и относительно недавно.
Сейчас эта форма ("у меня много мечт") употребляется чаще всего в шутливо-ироничном смысле. Это такая языковая игра, а играть нам никто не запрещает.