Так вы обычно обращаетесь к тому, кто входит к вам в кабинет, в офис, в комнату. Открывается дверь - и вот он, знакомый или незнакомый, а вы ему: чем обязан? Что означает - что вас ко мне привело, какой у вас ко мне вопрос? Эта формулировка кажется не просто вежливой, а изысканно вежливой, как будто из девятнадцатого века: паркет, дамы, офицеры, эполеты...
Красиво звучит, но в этой формулировке ошибка. Не "чем обязан", а "чему обязан", вот как будет правильно! Задумайтесь: какой смысл обращаться к входящему с вопросом "чем обязан"? Такой вопрос звучит немного странно и даже резко: что я вам должен? Какие у меня перед вами обязательства? На вопрос "чем обязан?" вполне мог бы прозвучать ответ: да ничем вы мне не обязаны!
Но мы же явно хотим сказать входящему что-то другое - поприветствовать его, сказать, что рады его видеть или, по крайней мере, готовы его принять и выслушать. Так при чем здесь "чем обязан"? А вот "чему обязан" очень даже при чем.
- Чему обязан?
"Чему обязан?" - это сокращенное "чему я обязан случаю (радости) видеть вас?". Чему я обязан тем, что вы ко мне зашли? "Чему обязан" - это не столько вопрос, сколько вежливое приветствие, устойчивая формулировка. Она не требует никакого особого ответа, как и всякая формула вежливости. Между тем такой вопрос уже непривычен для нашего уха. Вот и Словарь русского речевого этикета А. Балакая приводит два варианта этого выражения: чем/чему обязан, однако использовать рекомендует только "чему обязан?".
- О, чему обязан?
- Да вот, зашел посмотреть, как вы тут устроились.
Почему эта формула вежливости стала использоваться с искажениями? Скорее всего, смысл "чему обязан?" понятен не всем, это выражение не так прозрачно, как искаженный вариант, "чем обязан?". С устойчивыми выражениями это часто случается. Вспомните, как малопонятное "кур в ощип" заменяют на "кур во щи".
Просто запомните: если уж вы хотите использовать такую формулу вежливости, как "чему обязан?", то используйте ее именно в таком виде: "чему обязан?"