В бытность хоккеистом Анатолий Михайлович выступал на позиции защитника за "Крылья Советов" с 1948 по 1957 год. В составе столичного клуба он завоевал титул чемпиона СССР-1957, в общей сложности на его счету более 160 матчей в союзных первенствах и девять голов.
После Кострюков занялся тренерской деятельностью, он возглавлял московский "Локомотив", челябинский "Трактор", а также югославский "Медвешчак-Гортан". Кроме того, он работал со сборными СССР. С середины 1990-х по 2005 год он входил в тренерский совет и был, в том числе, его председателем. В 2004 году Кострюков был введен в Зал славы отечественного хоккея.
Прощание с Анатолием Кострюковым состоится 16 декабря на Ваганьковском кладбище в Москве.