Судьба Георгия Николаевича была предопределена с рождения - его отец кинорежиссер Николай Шенгелая, а мать актриса Нато Вачнадзе. Свою карьеру в кино он начинал как актер: в 1955-1959 годах снимался на киностудии "Грузия фильм". Окончив в 1961 году режиссерский факультет ВГИКа, вернулся на родную киностудию уже в качестве режиссера.
Он снял такие фильмы, как "Алавердоба", "Пиросмани", "Мелодии Верийского квартала", "Все хотят любви", "Хареба и Гогиа", "Ехал поезд", "Путешествие молодого композитора".
Фильм "Пиросмани" в 1974 году принес ему приз "Золотой Хьюго" международного кинофестиваля в Чикаго. А в 1986 году Георгий Шенгелая получил Серебряного медведя за лучшую режиссуру Берлинского кинофестиваля за фильм "Путешествие молодого композитора".
Георгий Шенгелая был женат на народной артистке Грузинской ССР и Армянской ССР, актрисе Софико Чиаурели.