Авербах получил звание гроссмейстера в 1952 году, а спустя два года он стал чемпионом СССР. В составе сборной он также побеждал в командном первенстве Европы (1957, 1965). Юрий Львович участвовал и выигрывал во множестве международных турниров. В 1965 году Авербах стал заслуженным мастером спорта СССР, в рейтинге Международной шахматной федерации (FIDE) он занимал 1779-е место.
Юрий Львович был награжден орденом Дружбы народов, медалями "За трудовую доблесть" и "За доблестный труд в ознаменование 100-летия со дня рождения Ленина", а 4 мая президент РФ Владимир Путин подписал указ о награждении Авербаха орденом Почета.