По словам филолога, существительное "республика" было заимствовано русским языком из латинского языка, где "rēs рūbliса" означало "общественное дело". Республика - это и определенная форма государственного правления, при которой высшие органы власти избираются на определенный срок, и страна с такой формой правления.
При обычном употреблении, объясняет лингвист, слово республика пишется со строчной (маленькой) буквы: парламентская республика, социалистическая республика.
Прописная (заглавная) необходима в том случае, когда дело касается официальных названий государств и субъектов: Доминиканская Республика, Федеративная Республика Германия, Республика Саха (Якутия), Чеченская Республика.
А вот склонение топонимов (географических названий) с родовым словом республика зависит от их окончания.
Так, подчеркивает русист, в "Справочнике по правописанию и литературной правке" Дитмара Розенталя сказано, что названия обычно согласуются со словом республика, если имеют форму женского рода, оканчивающуюся на -ия и -ея: из Республики Карелии, в Республику Хакасию, на территории Республики Адыгеи, у границ Республики Бурятии. Правило касается и иноязычных наименований: торговля с Республикой Гвинеей, телемост с Республикой Индией. Однако, отмечает Тамара Скок, в официальных текстах и документах названия республик, выступающие в роли приложения, часто остаются несклоняемыми: в Республику Ингушетия, с Республикой Боливия.
Те же географические названия, которые имеют форму мужского рода и заканчиваются на согласный, при склонении с родовым словом "республика" согласоваться не будут: в Республике Дагестан, рядом с Республикой Алтай, из Республики Крым, в Республике Татарстан.
Впрочем, по-прежнему остается открытым и обсуждаемым вопрос по поводу склонения топонимов, имеющих окончание -а. В справочнике Дитмара Розенталя эти названия не склоняются: в Республике Куба. Однако, делится наблюдениями Тамара Скок, в "Словаре географических названий" Александры Суперанской сказано, что наименования республик женского рода обычно изменяются вне зависимости от окончания: из Республики Кубы, в Республике Панаме. Правило не распространяется на официальные документы.