Анатолий Угорский родился в 1942 году в Рубцовске в еврейской семье - в эвакуации. В 1945-м, когда семья вернулась в Ленинград, начал обучаться игре на ксилофоне. С шести лет учился в музыкальной школе при Ленинградской консерватории, которую далее окончил по классу фортепиано. Наставницей Угорского была известная советская пианистка Надежда Голубовская. После у нее же занимался в аспирантуре.
Тогда же практически сформировался и интерес музыканта - авангард: отдельные вещи Берга, Мессиана, Булеза. Вместе с женой поставил "Лунного Пьеро" Шёнберга. Десять лет работал концертмейстером пионерского хора. В 1976-м выпустил первую пластинку на "Мелодии". В 80-х преподавал в консерватории.
В 1990-м семья артистов эмигрировала в Германию, где на легендарном "классическом" лейбле Deutsche Grammophon Угорский выпустил более десятка альбомов.
Жена - Майя Угорская, либреттист и музыковед, специалист по творчеству Свиридова. Умерла в 2012 году. Брат - актер Ленинградского театра музкомедии Владимир Угорский. Умер в 2016 году. Дочь - пианистка Дина Угорская. Умерла в 2019 году.