Алексей Байгазов окончил хореографическое отделение Стерлитамакского культпросветучилища и начал свою карьеру в качестве артиста балета в государственном ансамбле песни и пляски "Марий Эл". В 1975 году Алексей Изиляевич пришел в ансамбль Файзи Гаскарова.
Он исполнил сольные партии в марийском танце "Вечером у калитки", татарских танцах "Шома бас", "Играй, гармонь" и "Косари", горно-марийском танце. Как отметили в ансамбле, зрителям запомнились трюки Алексея Байгазова в русских и украинских танцах, кубанском казачьем.
Вместе с коллективом он объездил с гастролями многие страны: от Финляндии и Чехословакии до Индии и Шри-Ланки. Также он стал дипломантом XII Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Москве.
Алексею Изиляевичу часто случалось ставить танцы или помогать в их постановке Файзи Гаскарову, который на тот момент уже не был худруком ансамбля, но приглашался для постановки различных танцев.
Алексей Байгазов вышел на пенсию в 1994 году, но все равно продолжил работу в коллективе госансамбля. Теперь уже мастером по пошиву сценической обуви.
Кроме того, Байгазов долго время сотрудничал с народным ансамблем танца "Эрвел" Мишкинского Дворца культуры, передавал свой опыт молодым танцорам.