Курбанов родился в Балакене, Азербайджан. Окончил вокальное отделение Азербайджанской государственной консерватории.
На экране впервые появился еще в 1957-м - сыграл Тахира в драме "Двое из одного квартала", с Вадимом Медведевым и Семеном Соколовским. Лента - совместное производство Бакинской киностудии и Киностудии имени Горького.
В 1964-м Курбанов сыграл главную роль, Рашида, в знаменитой сказке "Волшебный халат". Через год - принца Джафара в комедии Одесской киностудии "Иностранка".
После был не менее известный советско-югославский приключенческий музыкальный фильм "Попутного ветра, "Синяя птица"!" В том же 1967-м году также на Одесской студии вышла последняя картина с юным актером - "У моря, где мы играли".
С 1992 года Курбанов жил в небольшом городке в США, в Нью-Джерси, где у него была фирма, оказывающая помощь с перевозками инвалидов.
О кончине бывшего актера сообщили 24 января СМИ Азербайджана - со ссылкой на сценариста Юсифа Шейхова.
Умер актер Азер Курбанов