Елибаев родился в 1947 году. В 1965-м поступил в только что открывшуюся на тот момент оперную студию в Алма-Ате. С 1967-го обучался в Казахской государственной консерватории по классу вокала. В 1968-1970 годах служил в Советской Армии.
В 1970-м был принят в Ансамбль песни и танца МВД Казахской ССР, а в 1973-м - в Алма-Атинскую филармонию, в эстрадный ансамбль "Алматы Ауендеры". Работал в качестве художественного руководителя и солиста. В 1975-м занимался записью грампластинки и съемками фильма о своем ансамбле.
В 1976 году Елибаев, по решению Министерства культуры Казахской ССР, был переведен в Государственный молодежной ансамбль "Гульдер" - самый известный эстрадный коллектив республики. До 1982 года работал в нем как вокалист - с Розой Рымбаевой. Объездил с группой весь Советский Союз и ряд стран зарубежья. Был автором-исполнителем ряда шлягеров 1980-х.
Причиной смерти певца стала болезнь Паркинсона, передает NUR cо ссылкой на его представителя.