Клее родился 19 апреля 1936 года в Шлайце. В детские годы пел в хоре Лейпцига. Окончил Кёльнскую высшую школу музыки.
Профессиональную карьеру начал ассистентом дирижера в Кельнской опере. В 1960-м дебютировал как дирижер "Волшебной флейты" Моцарта.
Начиная с 1962-го Клее работал в театрах Зальцбурга, Оберхаузена и Ганновера, многие годы возглавлял Филармонический оркестр Северогерманского радио. В 1977-1987 гг. - музыкальный руководитель Дюссельдорфского симфонического оркестра.
Как приглашенный дирижер артист активно работал с ведущими оркестрами разных стран, в 1974-м дебютировав с Нью-Йоркским филармоническим оркестром.
Клее также осуществил ряд записей - как оперных, так и симфонических.
Жена - сопрано Эдит Матис.
Некролог маэстро опубликован накануне Rheinische Post.