Бадини, отец которого был оперным певцом, профессионально играл с 1950-х: композитор, пианист, руководитель джаз-оркестра.
Профессиональную карьеру Бадини начал как кларнетист в ансамблях Нового Орлеана. Играл с Дюком Эллингтоном. С конца 1950-х сосредоточился на тенор-саксофоне.
Помимо прочего, его игру на саксофоне мы можем слышать в классическом сериале "Расследования комиссара Мегрэ".
Бадини в 1973-м собрал свою группу Swing Machine, в 1983-м - биг-бэнд Super Swing Machine. Несколько лет жил и работал в Нью-Йорке.
Некролог опубликован TSF Jazz (сайт заблокирован).