Путь в большой спорт для уроженца шахтерского городка Свердловск (ЛНР) начался в местном клубе "Шахтер". В 1969 году на талантливого игрока обратил внимание тренерский штаб ворошиловградской "Зари".
Возглавлял тогда команду 45-летний тренер Герман Зонин. Едва приняв клуб, он сумел спасти его от вылета из высшей лиги, а через год луганские футболисты заняли пятое место в чемпионате СССР, в 1971-м - четвертое.
Новый сезон команда, где центральным нападающим был Юрий Елисеев, начала с ошеломительных побед над фаворитами. Уже в первом туре "Заря" разгромила действующих чемпионов - киевское "Динамо" - со счетом 3:0. Затем были повержены обладатель Кубка СССР "Спартак" (3:1) и московское "Динамо" (1:0). И тогда, в разгар чемпионата, чиновники делегировали луганцев в Южную Америку на Кубок независимости.
"Помню, как нас сбивали с игрового ритма, отправив на турнир в Бразилию. А на второй день после возвращения из-за океана, не дав времени на акклиматизацию, бросили при 32-градусной жаре в пекло битвы с "Торпедо" в Москве. Так велико было желание остановить "зарвавшуюся" "Зарю", что никто даже не спросил, можем ли мы, только сойдя с трапа, играть?.. Но и на этот раз команда не согнулась, забив "Торпедо" четыре мяча, а я сказал: "Мы и три тайма можем играть", - написал в мемуарах "Вся жизнь - футбол" Герман Зонин.
Титул чемпионов СССР был завоеван сенсационно - за три тура до окончания первенства.
29 октября 1972 года трибуны "Авангарда" были заполнены до отказа: поддержать луганцев пришли 40 тысяч зрителей. В ключевом матче сошлись московское "Торпедо" и "Заря". Встреча завершилась вничью 1:1. Мячи забили Виктор Кузнецов ("Заря") и Юрий Смирнов ("Торпедо"). В итоге "Заря" набрала 40 очков, забив 52 и пропустив 30 мячей, и стала чемпионом СССР. "Серебро" и "бронзу" взяли киевское и тбилисское "Динамо".
После того как "Заря" покинула высшую лигу, Юрий Елисеев играл во многих командах, в том числе в клубах ГДР из Бабельсберга, Хеннигсдорфа и Мерзебурга.
Почти 50 лет жизни Юрий Константинович посвятил педагогической работе. Он был тренером в Луганском высшем училище физической культуры и директором Специализированной детско-юношеской школы Олимпийского резерва "Юность". За многолетний добросовестный труд в 2001 году ему вручили медаль "За труд и доблесть", а в 2017-м - Благодарность Народного Совета ЛНР.