Алексей Мурыгин родился 16 ноября 1986 года в Хабаровске. Начал заниматься хоккеем под эгидой родного "Амура", сразу же выбрав амплуа вратаря. Первые матчи провел в сезоне 2005-2006 за "Амур-2", а в октябре 2006 года дебютировал в Суперлиге. Спустя два года на время перешел в основной состав ангарского "Ермака". Здесь он получил хорошую школу, проведя 41 регулярный матч.
Дебют в КХЛ состоялся 11 января 2010 года: "Амур" играл против новокузнецкого "Металлурга". Мурыгин тогда отразил все восемь бросков, а через две недели провел так называемый "сухой матч" в гостях против "Трактора". Статистика сезона 2009-2010 впечатляла: хабаровский вратарь показал 90,3 процента отраженных бросков. В следующем сезоне улучшил результат - его заметили на федеральном уровне.
В мае 2015 года Мурыгин подписал контракт с ярославским "Локомотивом". Сезон 2015-2016 стал для него триумфальным. 95,4 процента отраженных бросков, коэффициент надежности 1,13 и 13 матчей на ноль. И, конечно, рекорд КХЛ по продолжительности сухой серии, то есть без пропущенных шайб. 27 сентября 2015 года Алексей побил прежнее достижение лиги, а затем довел его до 302 минут 11 секунд. Рекорд смогли побить лишь через пять лет: вратарь казанского "Ак Барса" Тимур Билялов не пропускал голы на протяжении 316 минут и 9 секунд.
После Ярославля Мурыгин играл за "Авангард", родной "Амур", "Торпедо", "Нефтехимик" и "Куньлунь Ред Стар". Всего в КХЛ он провел 306 матчей.
В 2019 году Алексей заболел. Диагноз звучал пугающе: высокодифференцированный плоскоклеточный рак миндалины, однако волевой вратарь смог победить болезнь и вернуться в хоккей через два года.
"Хоккей для меня - вторая семья, которой я два года был лишен. После такого перерыва возвращаться тяжело не только физически, но и профессионально. Движения забываются, инстинкты притупляются, организм нужно заново проверять под нагрузкой", - рассказывал Мурыгин в интервью для сайта КХЛ.
После Алексей перешел на тренерскую работу.
В мае 2026 года стало известно, что рак вернулся. Победить его на этот раз 39-летний Алексей не смог. В комментариях под постом с сообщением о его смерти сотни комментариев болельщиков: "Ты был лучшим вратарем "Амура", "Шедевральный вратарь, вдохновил меня самого стать вратарем", "Легенда!".
У Алексея остались три дочери и жена Ксения, свадьбу с которой он в 2012 году сыграл прямо на льду хабаровской "Платинум Арены".