Но тавро ставят исключительно на животных, чтобы их можно было отличить от рогатой и хвостатой живности, принадлежащей другим владельцам. Получается, значений у слова "клеймо" больше.
"Клеймо" - это заимствование из германских языков. Возможно, что и из языка шведского: kleima там как раз и значило именно "тавро". Вспомните, кстати, слово "клеймить", у которого немало значений: ставить на кого-то клеймо, осуждать, объявлять позорным и так далее.
Что касается "тавро", то у него происхождение не европейское. Да оно и звучит с экзотическим оттенком. Считается, что слово "тавро" пришло к нам из тюркских наречий (в турецком языке tuvra - монограмма султана).
А вот со склонением у обоих слов имеются проблемы во множественном числе, потому что не все пользователи русского языка и не всегда знают, как в этих формах ставить ударение.
Множественное число - клЕйма, клейм, клЕймам; таврА, тавр, таврАм.