Впрочем, упомянутый словарь - единственный, не знающий в этом смысле сомнений. В остальных наблюдаются серьезные колебания. Орфоэпический словарь, например, приводит вариант "берёста" как основной, но тут же упоминает и допустимый вариант "берестА". И, кстати, именно так говорит едва ли не половина, как выражаются языковеды, "носителей языка".
Толковый словарь русского языка считает равноправными варианты "берёста" и "берестА", такие же рекомендации дает Словарь ударений Резниченко - берёста, берестА.
Слова "берёста" и "берёза" - ближайшие родственники, оба восходят к индоевропейской основе со значением "белый, светлый". Что касается прилагательных от слова "берёста", то их два: берестяной и берёстовый. Берестяная грамота - но берёстовый поднос, разница очевидна. Ну, и в слове берестянОй лучше не ошибаться. Раньше говорили берЕстяный, но этой старой нормой лучше не пользоваться.
Берёста, берестА, берестянОй, берёстовый - все это есть сейчас, в наши дни.