Анатолий Андреевич родился в Донецке 24 мая 1934 года. Окончив семилетку, он поступил в художественно-декоративное училище. Его карьера фактически началась в 1951 году: молодой специалист был отправлен в Москву фасадчиком-лепщиком для оформления дома на Фрунзенской набережной.
В 1967 году Анатолий Бичуков был принят в Союз художников СССР, в 1972 году возглавил Студию художников имени В.В. Верещагина МВД СССР, в 1988-м стал профессором и заведующим кафедрой скульптуры Российской академии живописи, ваяния и зодчества, а с 2001 года - академик и вице-президент Российской академии художеств.
Анатолий Бичуков - автор более 50 памятников, мемориальных досок, монументальных скульптурных композиций, которые установлены в Москве, а также в других городах России и мира.
Первой заметной монументальной работой скульптора стал гранитный памятник поэту Борису Корнилову, установленный в городе Семенове.
Он также является автором памятников Сергею Есенину на Тверском бульваре и Ваганьковском кладбище, ансамбля "Защитникам земли русской" на Поклонной горе и "Святой Георгий" на Трубной площади.
В середине 1990-х годов участвовал в воссоздании скульптурного убранства храма Христа Спасителя.
Среди его работ - памятник Феликсу Дзержинскому во дворе здания ГУВД Москвы на Петровке и памятник Михаилу Фрунзе в Ярославле, памятник летчикам гражданской авиации во Внуково, памятник Сергею Боткину, памятник маршалу Георгию Жукову в Одинцове, памятник Есенину в Ульяновске.