Александр Лосюков начал работу МИД СССР в 1968 году после окончания МГИМО. В течение карьеры он занимал разные дипломатические должности в центральном аппарате и за рубежом, в частности в Афганистане, Соединенных Штатах, на Филиппинах. С конца 1980-х дипломат непосредственно занимался Азиатско-Тихоокеанским регионом, в начале 1990-х служил послом РФ в Новой Зеландии (по совместительству в Западном Самоа, королевстве Тонга и на Островах Кука), затем послом в Австралийском Союзе (по совместительству в Республике Фиджи), в Республике Вануату и в Республике Науру.
С 1997 по 1999 годы Лосюков возглавлял 2-й департамент Азии МИД РФ, в 2000-2004 годах занимал пост замминистра иностранных дел и курировал вопросы отношений России со странами АТР. С 2004-го по 2006 годы был послом РФ в Японии, а затем снова вернулся на должность замглавы МИД. Лосюков возглавлял российскую делегацию на шестисторонних переговорах по корейской ядерной проблеме.
"Для многих из нас, работающих сегодня в стенах посольства в Токио, Александр Прохорович был Учителем, Руководителем, Послом, щедро делившимся с нами своими обширными знаниями и богатым опытом, помогавшим утвердиться в профессии. Сердечная ему благодарность и вечная светлая память", - говорится в сообщении российского дипведомства.
В качестве общественного деятеля Александр Лосюков занимался сохранением наследия семьи Рерихов. В апреле 2015 года ему было отказано во въездной визе в США, где российский посол в отставке должен был участвовать в открытии в штаб-квартире ООН выставки, посвященной 80-летию подписания Пакта Рериха, первого международного договора о защите культурного наследия.