Андрей Мягков родился в Ленинграде в 1938 году, и часть его детства пришлась на блокаду. Как рассказывал артист, одним из самых сильных ранних впечатлений было то, что его родители не ели месяцами, лишь бы прокормить сына и дочь. Будущий актер одно время думал, что они обедают хотя бы на работе, и однажды попросился пойти туда с ними.
Он был по-настоящему шокирован, когда увидел, как работники почти круглосуточно создавали детали для орудий и танков: "Там вообще никто ничего не ест, нет обеденных перерывов… я пришел домой и разрыдался". При этом в 1942 году семье представилась возможность переправиться через Неву. Однако во время погрузки на катер выяснилось, что на семью из четырех человек было лишь два места. Мягковы решили не разлучаться и потому остались в городе. Каков же был их шок, когда спустя некоторое время катер, на котором они должны были плыть, подвергся обстрелу и затонул на середине пути. Так что судьба берегла Андрея Мягкова еще с раннего детства.
Родители у будущего актера были "технарями": отец - доцент Ленинградского технологического института, мать - инженер-механик. Андрей хоть и мечтал о карьере актера, но по настоянию родных пошел учиться в Ленинградском технологическом институте, где исправно участвовал в студенческом театре. После выпуска полагалось работать по специальности три года, и Мягков некоторое время состоял в штате Института пластических масс. Однако актеру скоро это надоело, и он обратился к руководству, чтобы ему позволили поступить в театральное училище. Как вспоминал артист: ему прямо сказали, что ему разрешат поступить, если он достанет билеты на какой-нибудь громкий спектакль.
Андрей и его будущая жена Анастасия Вознесенская познакомились в школе-студии МХАТ. При этом Мягков был самым старшим на курсе - 23 года, когда Вознесенская - самая младшая, ей не исполнилось и 17 лет. Актриса позже признавалась, что ее покорил голос сокурсника. Правда, артист на это отвечал, что ничего особого в его музыкальных способностях не было. Интересно, что уже тогда проявилась фирменная черта актера - скрытность. Сокурсники лишь случайно узнали, что их одногруппники поженились. Как говорил в одном из интервью Владимир Меньшов, он даже спустя несколько десятилетий не знал, когда его знакомые расписались.
На одном из курсов Андрея Мягкова отчислили из-за неуспеваемости по французскому. Актер попытался уговорить руководство школы-студии восстановить его, но ему было отказано. Тогда Андрей Васильевич решил проблему радикально: он на протяжении двух недель сидел на подоконнике и "играл в гляделки" с ректором, пока тот не отступил.
Многие отмечали, что Андрей Мягков похож на Ленина, и потому ему часто предлагали роли лидера мировой революции. Тогда сыграть личность такого масштаба - это гарантированное продвижение по карьере и поддержка партии. Однако актер противоречиво относился к личности Владимира Ульянова, особенно к постановкам о нем ("Все вранье"), а потому постоянно отказывался от этой роли. Однажды его из-за этого чуть не выгнали из театра. Сделал исключение Мягков для фильма о Надежде Крупской. И то - только потому, что там было больше романтики, чем политики. А потом был еще один Ленин в картине "На Дерибасовской хорошая погода…".
У Эльдара Рязанова сложились теплые отношения с Андреем Мягковым, и последнему прощались некоторые прегрешения. Так, например, когда снимали сцену в бане из "Иронии судьбы", актеры пили настоящий алкоголь, празднуя юбилей одного из них. В какой-то момент характерный запах учуял режиссер и очень разозлился. Он отменил смену и грозился не заплатить, но на следующий день оттаял. Кстати, в сценах, которые попали в фильм, актеры пили не водку. Но однажды Мягков раскритиковал стихотворение, написанное Рязановым. Тот этого не простил и во время съемок "Гаража" подарил актеру роль почти без слов.
Хоть многие знают Мягкова по роли Жени Лукашина, актер эту работу не любил: из-за нее к нему приклеился ярлык алкоголика не только в кино, но и в жизни. Олег Ефремов так и называл артиста - "лучший пьяница России (в ролях)". Интересно, что Андрей Васильевич лучшей своей работой считал Алешу Карамазова из экранизации романа Достоевского, снятой Иваном Пырьевым.
Однажды Андрей Мягков чуть не погиб. Это было на съемках "Жестокого романса". В одной из сцен актер плыл за пароходом и настолько приблизился к нему, что попал под лопасти. Спустя некоторое время Вознесенская позвонила мужу и спросила, все ли у него хорошо. Она будто почувствовала, что случилось нечто страшное. Мягков потом признавался, что даже испугался: откуда она могла это знать, если про инцидент никому не сообщали за пределами съемочной площадки.
Андрей Васильевич с супругой некоторое время преподавали в родной альма-матер - во МХАТе, где у них сложились достаточно теплые, чуть ли не родительские отношения с учениками. Те даже шутили над своим любимым преподавателем - однажды перенесли его жигули с места стоянки. За это своих студентов преподаватель Андрей Мягков наказывать не стал.