Все время после школьных занятий Виктор пропадал на спортивной площадке. В 1953 году записался в детскую хоккейную секцию Стадиона юных пионеров. Четыре года он успел позаниматься хоккеем с мячом. В юношеских командах легкий и подвижный игрок был нападающим.
В 1958 году ему последовало предложение перейти в армейский клуб, который тренировал Анатолий Тарасов. Тогда команда называлась ЦСК МО. Тарасов сразу перевел Кузькина в защитники. Конкуренция в составе при легендарных Сологубове, Трегубове, с учетом того, что в те годы команды играли только в две пары защитников, была жесткая. Тем не менее, в своем первом сезоне Кузькин стал играть за взрослую команду ЦСКА, в которой выступал до 1976 года, установив рекорд тех лет по количеству игр за один клуб.
Всего в чемпионатах СССР, которые он с московскими армейцами выигрывал 13 раз , Виктор Кузькин провел 530 матчей, забив в них 71 гол. В чемпионатах СССР большее, чем Кузькин, количество матчей провел на льду лишь динамовец Валерий Васильев. Рекорд Виктора Кузькина - 13 чемпионств в первенствах СССР - позже удалось повторить только Владиславу Третьяку.
10 раз Кузькин входил в число 33 лучших хоккеистов страны. Он является восьмикратным чемпионом мира и Европы. В составе сборной СССР на Олимпиадах и чемпионатах мира провел 70 матчей, забив в них 12 голов. В суперсерии 1972 года с канадцами выводил советскую сборную на лед в качестве капитана.
В игре на льду Виктор Кузькин был необычайно подвижен - сказывалась игра в нападении в юности, он сохранил умение результативно завершать атаку. Не менее искусен он был как в отборе шайбы, так и в подыгрыше. Он хорошо чувствовал ситуацию на льду и уверенно контролировал шайбу.
Виктор Кузькин был предельно корректен на льду и, несмотря на защитные, разрушительные функции, редко удалялся с площадки. "У меня не возникало необходимости грубить! Прежде всего, потому, что хорошо катался на коньках - не нужно было хватать, цеплять нападающего, - признавался в одном из интервью Виктор Кузькин. - Догонял его, пристраивался, не давал атаковать. Ведь нарушают правила чаще из-за того, что уступают в скорости или маневренности. А у меня с этим проблем не было. И Тарасов учил: можешь ударить - ударь, но чтоб не удалили".
"Он был мягким, добродушным человеком. Складывалось впечатление, что с его характером нужно не в хоккей играть, а в балете танцевать. Но на льду он преображался и в силовой борьбе никому не уступал. Прекрасный атакующий защитник с великолепной физической подготовкой - создавалось впечатление, что он вообще мог играть без замен", - так отзывался о своем партнере по сборной СССР Виталий Давыдов, который около 10 лет отыграл с ним в составе национальной команды в одной паре.
Виктор Кузькин благодаря своему энергичному характеру быстро нашел себя после ухода из большого спорта. С 1976 года находился на тренерской работе, приняв приглашение старшего тренера ЦСКА и бывшего партнера по сборной Константина Локтева поработать его помощником. В тренерском штабе армейского клуба Кузькин работал с 1976 по 1999 годы с трехлетним перерывом с 1988 по 1991 годы, когда он уехал в Японию в качестве тренера-консультанта одного из местных хоккейных клубов. Приняв команду, вывел этот клуб с последнего места в чемпионате на третье.
В 2000 году по инициативе Виктора Кузькина был создан Фонд поддержки и развития любительского хоккея, который в настоящее время носит его имя. В 2005 году в честь 50-летия российского хоккея Виктор Кузькин был отмечен специальным призом Федерации хоккея России как один из шести лучших защитников страны за всю историю. В 2004 он был избран в Зал славы отечественного хоккея. В 2005 году введен в Зал славы Международной федерации хоккея. В возрасте далеко за 60 лет продолжал активно заниматься физкультурой и спортом. Он принимал участие в ветеранских матчах, освоил дайвинг, никогда не жаловался на здоровье, всегда оставаясь образцом бодрости и оптимизма. 19 апреля 2008 года Виктор Григорьевич отыграл матч в Лужниках на праздновании 50-летнего юбилея Вячеслава Фетисова.
Летом 2008 года он отправился в военный санаторий в Сочи, где отдыхал каждый год и пристрастился к погружению на глубину. В санатории, поиграв в теннис, он, разгоряченный, нырнул в воду, которая была прохладной - на курорте несколько дней лил дождь. У прославленного хоккеиста не выдержало сердце.
Виктор Кузькин похоронен на Ваганьсковском кладбище.