Если в учреждении работают и рисуют на стенах указатели люди грамотные, то будет написано именно так и никак иначе - "запаснЫй выход". В противном случае может быть написано "запаснОй", но это уже, сами понимаете, - как повезет.
Если же мы решим выяснить, какие рекомендации дают на этот счет словари, то уж тут придется запастись терпением, потому что вот словари-то дают как раз самые что ни на есть противоречивые указания. Начиная с классического Толкового словаря Владимира Даля, все они признают правильным - вы удивитесь - оба варианта, и запАсный, и слово запаснОй!
Орфоэпический, часто используемый нами здесь словарь под редакцией Р. Аванесова, - тот так просто дает нам самую полную волю! Хотите - пишите запАсный выход, хотите - запаснОй. Хотите - запаснОй полк, хотите - запАсный. То же самое происходит и с путём (равно как и с "выходом", с которого мы начали): запАсный путь - и здесь, пожалуйста, запаснОй. Словарь ударений под редакцией И. Резниченко эти рекомендации всего лишь дословно дублирует, ничего дополнительно не разъясняя своим читателям.
Пожалуй, самым строгим и принципиальным словарем остается Словарь ударений Ф. Агеенко и М. Зарвы, там имеет место хоть какая-то определенность. Вообще-то, замечает это справочное издание, правильным будет говорить "запаснОй": запаснАя деталь, запаснАя батарейка, запаснЫе части, "запасной вариант". А вот "выход" - тот самый, к которому приходится бежать вместе с человечком в чрезвычайных ситуациях, - "выход", он запАсный. Пояснений и этот словарь упорно не дает.
Так что, на здоровье - называйте выход запАсным, как вам предписывает словарь, а все предметы, которые держите про запас, запаснЫми.
Уверяю вас, на ошибку в этих случаях вам никто не укажет.