Истина дороже
Опубликовать все пришедшие в адрес миасского педагога письма мы не можем - из них бы вышла целая книжка, посвященная загадке трисекции угла. Как выяснилось, эта задача в свое время интересовала немало наших читателей, впоследствии ставших профессиональными математиками, архитекторами, конструкторами и проектировщиками.
Многие из них сразу обнаружили ошибку деления угла, проверив решение в компьютерных программах. К примеру, А.Т. Герасимов написал: "Восхищаюсь Лялей Гиззатовной, но... истина дороже. Я нарисовал по ее методу эскиз в программе AutoCad. Из трех полученных углов два (боковые) равны, а центральный - немного отличается. Если первоначальный угол был 60°, то после деления получились 20,1°, 19,8° и 20,1°. И чем больше угол, тем больше погрешность".
"Прочертила в конструкторской программе с высокой точностью. Увы, не сходится", - подтвердила Екатерина Белоусова. "Это ошибка неточности построения, вот если бы Ляля Гиззатовна имела современный инструментарий…" - посетовал Сергей Клементьев. К ним присоединились Илья Колсанов, Евгений Лисичкин, инженер-проектировщик Иван Карпов и многие другие. Но как это объяснить Ляле Гиззатовне, у которой нет ни компьютера, ни навыков работы в графических программах?
На помощь пришли математики. Правда, кое-кто обвинил учительницу, а заодно и нашу редакцию в намеренном эпатировании общественности. "Не вводите людей в "сумление". Части не равные, а почти равные. Правда, при углах меньше прямого точность настолько хорошая, что глазом не определить", - написал Федор Кутерин. "Перед публикацией статей не лишним было бы самостоятельно проверить материал, а не выставлять на посмешище пожилого человека и себя", - возмутился Нурлыбек Амандыкович Молдагалиев.
Специально для Нурлыбека Амандыковича сообщаем: материал проверили тщательно. В статье нет ни слова неправды: переписка Ляли Гиззатовны с научными инстанциями подкреплена документально, построения приложены, а решение задачи для того и сняли на видео, чтобы привлечь к нему внимание математиков. Заметьте, мы не делали из решения сенсации, а призвали поискать в нем ошибку. И эту задачу публикация в "РГ" выполнила на все сто.
Только для острых углов
"Здравствуйте! Хочу сказать вам три СПАСИБО! - написала учительница математики с Камчатки Вера Сороковикова. - Во-первых, поблагодарить за статью, потому что это очень интересно, и сразу возникает желание все проверить, понять, а вдруг… Во-вторых, вы с уважением отнеслись к учителю и выслушали ее, а не отправили сразу домой и не сказали, что она "сумасшедшая"… В-третьих, оставили обратный адрес, по которому можно ответить и объяснить человеку, в каких моментах он заблуждается. Удивительно, почему за столько лет она не поделилась своими открытиями со знакомыми математиками, а мучилась, лелея свое открытие?"
По мнению Веры Александровны (его разделило подавляющее большинство читателей-математиков), четырехугольник, получившийся при построениях Ляли Гиззатовны, не является ромбом, поскольку две его вершины находятся на окружности. Соответственно возведенные параллельно сторонам угла хорды не пройдут через центр окружности. На это же обратили внимание и математики ЧелГУ, к которым мы обратились за консультацией. Однако читатели, в отличие от ученых, проверили метод Ляли Гиззатовны собственными построениями и пришли к выводу: он действует только для острых углов.
"При малых значениях начального угла погрешность весьма мала, и она вполне может быть скрыта в толщине линии грифеля циркуля. Например, при величине начального угла в 120° ошибка достигает 2°", - заметил Андрей Шокоров.
Впрочем, мнения разделились. Часть читателей, и среди них кандидаты технических и физико-математических наук, сделали заключение: решение Ляли Гиззатовны красивое, изящное и логичное. И главное - ее способ деления угла на три, пять, семь и любое нечетное число равных углов - верный путь к решению многовековой проблемы. А потому бывшую учительницу следует номинировать на Абелевскую премию или премию правительства РФ в области науки и техники. Однако как быть с оговоркой, что решение действительно только для малых углов? Ведь Архимед предлагал найти трисекцию любого угла. И если решение не работает при больших значениях угла, значит, оно просто… не работает.
Четырехугольник превращается
Познакомившись с откликами, Ляля Гиззатовна предложила уточненный вариант, к которому она и еще один из наших читателей Ришат Мустаев пришли в одно и то же время независимо друг от друга. По словам Ришата, ошибка Ляли Гиззатовны в том, что она при построении поставила точки (ставшие двумя вершинами "четырехугольника, который не является ромбом") на самой окружности. А надо бы - на перпендикуляре к биссектрисе угла. И тогда задача решается.
Действительно, при таком построении ошибка, увиденная большинством математиков, исчезает. Похожий на ромб четырехугольник превращается в ромб, а хорды, параллельные сторонам угла, станут параллельны противоположным сторонам ромба, а значит, пройдут через центр окружности. Выходит, правы были те, кто говорил о изначально верном подходе Ляли Гиззатовны? Осталось проверить, как он работает в AutoCad и других графических программах. И мы вновь надеемся на помощь читателей.
Но и это, казалось бы, логичное построение разбивается примером Сергея (к сожалению, не указавшего свою фамилию. - Прим. ред.), предложившего разделить на три равные части угол в 180 градусов.
"Если решение верно, оно верно для любого угла, - рассуждает Сергей. - Отложив радиус по схеме автора, мы получим треугольник с углом при вершине 60 градусов. Он равнобедренный, и, в свою очередь, углы при основании тоже равны 60 градусам, а значит, он равносторонний. Получаем противоречие: все стороны треугольника равны двум радиусам, но и высота по условию решения тоже равна двум радиусам. А этого быть не может! Тем не менее я очень рад, что учительница не потеряла жажду познавать и открывать. Это очень здорово, желаю ей не бросать подобных увлечений. А ошибки бывают у всех".
Против такого довода возразить нечего. Он отметает все геометрические построения. К тому же часть наших читателей сослалась на теорию Галуа: на три равные части невозможно разделить даже угол в 60 градусов. Получается, найти трисекцию угла в 90 градусов с помощью циркуля и линейки можно, и это доказано. А для всех остальных углов решения нет.
"Понятна реакция моих коллег. Профессиональные математики изучают не только математические объекты и их свойства, но также устанавливают теоремы о несуществовании. Эти теоремы ценятся ничуть не меньше, чем новые открытия, поскольку позволяют не тратить время зря на бесплодные попытки вывести из имеющейся системы аксиом факт, который установить на самом деле невозможно. Задача о трисекции угла - одна из таких задач", - сообщил один из сотрудников Санкт-Петербургского математического института с адреса Darth Dweyn.
В редакцию "РГ" обратились представители Московского центра непрерывного математического образования Александр Блинков и Александр Музыкантский. Они также указали на ошибку, однако попросили выразить Ляле Гиззатовне уважение за то, что, находясь в почтенном возрасте, она продолжает заниматься геометрией и способна увлечь трисекцией угла так много людей.
"Уже более 15 лет мы ежегодно проводим творческие конкурсы учителей по математике. Их составная часть - поиск ошибок в математических рассуждениях. Если Ляля Гиззатовна не будет возражать, мы готовы включить ее решение в один из конкурсов, чтобы педагоги поискали ошибку. Естественно, в этом случае будет указано ее авторство", - отметили математики.
Не исключено, что решение Ляли Гиззатовны и впрямь войдет в историю. Очень многие из написавших в редакцию преподавателей сообщили: возьмем его в "копилку", чтобы объяснять ученикам математические ошибки и парадоксы.