Родители, Александр Николаевич и Екатерина Фоминична, были людьми незаурядными. Отец в юности ездил на заработки в Москву, работал на фабрике Морозова, потом учеником аптекаря на Пресне, но победила тяга к грамоте и желание стать учителем. Мать десятилетиями учила деревенских ребят на Могилевщине, зорко подмечая их будущие таланты. Екатерина Фоминична первой обнаружила задатки и у будущего поэта. Она писала: "Сын мой Аркадий рано пошел в школу, учился хорошо, увлекался математикой и литературой. С детства любил читать Пушкина, Лермонтова, Некрасова, Янку Купалу. В шесть лет написал первое свое стихотворение".
Детство поэта в живописных местах Могилевщины близ любимой речки Беседь было по большей части счастливым. Его на несколько лет омрачил развод родителей, но в 1930 году отец вернулся в семью, и супруги вместе дожили до глубокой старости. В 1928-м Аркадий окончил семилетку в родных Самотевичах, и это было единственное образование, которое он получил в полном объеме.
Дальше были по три курса педагогического техникума в Мстиславле и литературного факультета педагогического института в Минске. Оба учебных заведения Кулешов не окончил, и не по причине лени или отсутствия способностей: поэт неустанно занимался своим главным трудом - писал стихи и поэмы. И его литературное образование уж точно высшее.
Его впервые напечатали под псевдонимом в 12 лет, в окружной газете в Климовичах. Стихи 13-летнего Кулешова уже появились в печати в Могилеве и Минске, в 1930 году 16-летний стихотворец уже держал в руках свою первую поэтическую книгу "Расцвет земли". К 18 годам авторских книг набралось уже три. И не в количестве было дело - стихи юного студента были не по годам зрелыми и становились событием в богатой в то время талантами белорусской поэзии.
Аркадий Александрович входил в литературу как представитель первого чисто советского поколения, не заставшего царские времена. Его заметили не только в БССР: с середины 1930-х годов у Кулешова завяжется крепкая дружба с Александром Твардовским. Классик советской поэзии был старше всего на четыре года и творчество друга оценивал весьма высоко, тем более что переводчики с белорусского языка смоленскому уроженцу Твардовскому не требовались. Белорусский поэт звал его в письмах "Алесем" и "земляком". Кулешов писал: "Моим учителем, которому я как поэт обязан всем, был Александр Трифонович. Я познакомился с Твардовским в 1935 году, и с тех времен до самой своей смерти он был первым судьей всех моих больших вещей". Именно эта дружба принесла Кулешову известность в советской столице: по протекции Твардовского его стал переводить с белорусского другой знаменитый смолянин Михаил Исаковский, а с 1966 года Аркадий Александрович стал членом редколлегии знаменитого журнала Твардовского "Новый мир". Без этой дружбы вряд ли были бы возможны и две послевоенные Сталинские премии Кулешова, и два его ордена Ленина.
А в суровое время конца 30-х молодого Аркадия Кулешова спас Пушкин. Белорусский поэт много и толково переводил русских классиков, и в 1937-м к 100-летию со дня смерти Александра Сергеевича он талантливо перевел его поэму "Цыганы". В том же году был арестован и вскоре расстрелян белорусский поэт Платон Головач, на младшей сестре жены которого женился Кулешов. Угроза репрессий нависла и над ним как "членом семьи врага народа" и миновала только к началу 1939 года. Среди кандидатов во "враги народа" Аркадий Александрович выделялся тем, что после его ареста качественно переводить на белорусский язык Пушкина было бы некому, приближалось и 100-летие со дня смерти Лермонтова, которого Кулешов также любил переводить. В 1949-м к 150-летию со дня рождения Пушкина белорусский поэт выпустил свой перевод "Евгения Онегина", причем это был уже второй вариант: первый, так и не изданный, он закопал в первые дни войны в июне 1941 года и не смог потом отыскать.
А в начале 70-х к Кулешову, уже ставшему в 1968-м народным поэтом Белорусской советской социалистической республики, пришла всесоюзная слава. Миллионы советских людей полюбили написанную композитором Игорем Лученком на его стихи и исполненную "Песнярами" песню "Алеся" с начальными строками "Бывай, абуджаная сэрцам, дарагая".
Чудесный вокал Леонида Борткевича придал печальным стихам о навсегда ушедшей первой любви особое очарование. Стихи же были опубликованы 14-летним Кулешовым еще в 1928 году в минском журнале "Полымя". Алеся реально существовала, как и любовь к ней юного Аркадия, пылкая настолько, что после расставания он написал об этом еще и поэму, которую в сердцах сжег. Девушка была двумя годами старше и вполне логично отвергла мальчишеские чувства.
Но история имела продолжение: Алеся Корыткина окончила школу в Самотевичах, уехала в Ленинград, окончила там пединститут и стала учительницей литературы Александрой Васильевной. В 1938 году у нее репрессировали мужа, после чего доверительные отношения с Аркадием восстановились, но лишь путем взаимной переписки, которая продолжалась десятки лет. Кулешов был прочно и счастливо женат, но светлый идеал смуглянки из первой юношеской страсти всегда хранил в себе. Встретиться с ней он так и не решился, но творения свои посылал регулярно как строгому рецензенту - с той поры, как его жена призналась, что стихов больше не любит...
Поэт скончался 4 февраля 1978 года, не дожив двух дней до своего 64-летия.
Его имя носят Могилевский государственный университет и улицы в Минске и многих белорусских городах. В деревне Новые Самотевичи с 1999 года работает музей поэта, а с 2019-го усилиями Могилевской областной библиотеки открылся и виртуальный музей Аркадия Кулешова.