Магомедрасул Гамидович родился в 1945 году в селении Хаджалмахи, после школы окончил Махачкалинское музыкальное училище и Астраханскую государственную консерваторию.
Долгие годы он был единственным в республике исполнителем басового репертуара. Он служил в Дагестанской государственной филармонии им. Т. Мурадова с 1978 года.
Заваев строил концертные программы на основе дагестанской, русской и западноевропейской классики. С открытием Дагестанского государственного театра оперы и балета Магомедрасул Заваев стал солистом труппы и исполнителем партии Старца Махмуда в опере Готфрида Гасанова "Хочбар", Алеко в "Алеко" Сергея Рахманинова, Алпана и Кузнеца в опере Магомеда Гусейнова "Шарвили".