Ученый из Нижегородского кампуса НИУ ВШЭ и Института проблем передачи информации РАН Иван Ремизов предложил универсальный метод решения широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка, которые почти два столетия считались не имеющими общей аналитической формулы.
Работа, опубликованная в ведущем математическом журнале, уже вызвала резонанс в научном сообществе.
Речь идет об уравнениях вида ay′′ + by′ + cy = g, где коэффициенты - не числа, а функции. Подобные уравнения описывают множество физических, инженерных и экономических процессов - от колебаний мостов до динамики финансовых рынков. Еще в 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль доказал, что их решение нельзя выразить через стандартные операции (сложение, умножение, элементарные функции и интегралы). С тех пор в учебниках закрепилось утверждение: "общей формулы не существует".
Ремизов не оспорил теорему Лиувилля, но расширил "разрешенный набор" инструментов. Он добавил к классическим операциям предельный переход - работу с бесконечными последовательностями приближений. Это позволило записать компактную формулу, в которую можно подставить коэффициенты и получить решение.
"Представьте, что вы едете на машине. Если дорога идеально ровная, а скорость постоянная, рассчитать время в пути легко. Это задача с постоянными коэффициентами. А теперь представьте, что покрытие дороги постоянно меняется, ветер дует с разной силой, угол наклона горы под колесами все время разный. В таких условиях ваша скорость и время зависят от множества меняющихся факторов", - пояснили суть исследования в ВШЭ.
"Можно сравнить это с собиранием пазла из миллионов фрагментов, - поясняет ученый. - Раньше мы не видели целой картины. Теперь мы нашли алгоритм, который позволяет системно собирать ее, шаг за шагом, приближаясь к точному ответу".
В основе метода лежит теория аппроксимаций Чернова и преобразование Лапласа. Подход не только дает практический инструмент для расчетов, но и сближает классический анализ с методами современной теоретической физики, в частности, с техниками, используемыми в квантовой механике.
Любовь к сложным "головоломкам" и логическим задачам у Ремизова с детства, ведь его отец тоже был ученым математиком. Хотя, как Иван сам признается, в физико-математической школе он больше любил химию. В 11 классе он уже работал там лаборантом.
После окончания лицея №40 в Нижнем Новгороде Ремизов поступил на механико-математический факультет ННГУ им. Лобачевского в 2002 году, оттуда в 2005 году перевёлся на механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова и закончил его в 2008 году. Далее поступил в аспирантуру на мехмат МГУ, кандидатскую диссертацию защитил в 2018 году на мехмате МГУ. Диссертация была посвящена методам аппроксимации в дифференциальных уравнениях с помощью теоремы Чернова. Научный руководитель - заслуженный профессор МГУ Олег Георгиевич Смолянов.
Проблемой, решение которой он нашел теперь, Иван заинтересовался в аспирантуре. "Меня всегда смущала формулировка "нерешаемо в общем виде", - говорит он. - Это звучало как вызов. Я чувствовал, что нужно лишь посмотреть под другим углом".
Его нынешнее открытие, над которым ученые бились 200 лет, "радикально меняет картину мира" в одной из старейших областей математики. Оно позволяет впервые задавать так называемые специальные функции (например, функции Матье и Хилла, критически важные для расчета орбит спутников или движения частиц в коллайдере) явными формулами. Раньше их можно было описать только как "решение такого-то уравнения". Теперь для них, как для привычной y = x², можно записать формулу, где слева - искомая величина, а справа - конкретные действия для ее вычисления.
Любопытно и еще одно следствие: работа перекидывает мост к современной физике. Решение Ремизова записано в форме, поразительно похожей на знаменитые интегралы нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана, которые используются в квантовой механике для описания движения частиц. То, что раньше было инструментом субатомного мира, теперь применимо и к классическим задачам.
Концептуальный прорыв нижегородского математика не просто решает старую проблему - он открывает новые возможности для фундаментальной физики, экономики и инженерии, где такие уравнения являются основой математических моделей. Наука снова доказала: даже в самых устойчивых и проверенных временем областях всегда есть место для революционной идеи.