Родился Иван в деревне Косяпрово Гжатского района Смоленской области.
Во время войны стихи лейтенанта Чиврикова публиковались в дивизионной газете "Красное знамя" и армейской газете "Отважный воин".
В начале лета 1943 года Иван участвовал в армейском слете военных корреспондентов, где познакомился и подружился с поэтами-офицерами Владимиром Калачёвым и Георгием Кузьмицким.
В июле 1943 года Иван был награжден медалью "За оборону Ленинграда".
Погиб у деревни Омути (Вируский уезд, Эстония).
Похоронен в братской могиле на северной окраине города Сланцы Ленинградской области.